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密码学学习笔记 之 差分分析入门篇——四轮DES

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前言

密码学学习笔记断更快半年了，最近又重新拾起了对密码学的学习，以一篇对四轮DES的差分分析“复出”。

对于差分密码分析的学习，参考《分组密码的攻击方法与实例分析》

这里就不重新介绍一遍DES的算法流程了，网上一大把。我们研究对DES算法的分析时，由于DES的初始置换及其逆置换均以公开，故在安全性分析时就可以将其忽略。另外我们这里暂且只分析四轮DES，所以有很多概率相关的概念也可以暂时不用涉及。

DES差分分析的关键就在于其S盒差分分布的不均匀特性，何为不均匀特性，即相同的差分进入S盒，输出的差分是不均匀分布的。

不过在详细介绍之前，还是先声明一些概念比较好。

 

基础概念

迭代分组密码的加密流程

（由于网站对latax语法不太支持，为了读者更好的”视觉体验“，这里我用截图了）

 

4轮 DES 算法的差分分析

流程图如下

我们记：

  1. 明文对和相应的差分记为(P,P*) 和 P’
  2. 密文对和相应的差分记为 (T,T*) 和 T’
  3. 明文左半部分、右半部分及其差分记为 (L,R) 和 (L’,R’)
  4. 密文左半部分、右半部分及其差分记为 (l,r) 和 (l’,r’)
  5. 第1、2、3、4轮函数的输入和输入差分依次记为 a,b,c,d 和 a’, b’,c’,d’
  6. 第1、2、3、4轮函数的输出和输出差分依次记为 A,B,C,D 和 A’, B’,C’,D’

4轮DES的差分分析本质上仍然是对S和的差分分析，

1.首先我们由密文对 T = (l,r), T* = (l*, r*),可以获得第4轮轮函数的输入对(r,r*)，进而也可以获得8个 S 盒的输入对（密钥加之前的数据）为 (E(r),E(r*)); 简单分析 S 盒针对差分的扩散特性以及拓展变换 E 的性质可知，第 4 轮轮函数的输入差分 r’ 也即 d’ 经过拓展变换 E 后（成为 S 盒的输入差分)，E(r’) 几乎会让 8 个 S 盒 都活跃，即这个 8 个 S 盒的输入差分都非0。

2.第 4 轮轮函数的输出差分为 D’ = l’ ⊕ c’ = l’ ⊕ a’ ⊕ B’ ,其中 l’ = l ⊕ l*，已知。a’ = 00000000，B’ = P(*0000000)，其中 * 为未知的 4 比特向量，表示当第 2 轮轮函数中第一个 S 盒 S_1 的输入差分为 04（由于拓展变换）时可能的输出差分，未知。从而，第4轮轮函数中 8 个 S 盒的输出差分为 P^{-1}(D’)=P^{-1}(l’ ⊕ P(*0000000)) = P^{-1}(l’) ⊕ (*0000000)，可求。故第四轮中S2,S3,S4, S5, S6, S7, S8 共 7 个S 盒的输出差分均可求。

3.由上述两个步骤我们可以建立对7个S 盒的差分分析模型，通过对S 盒的差分分析，我们可以恢复 7 × 6 = 42 bit 的轮密钥，由密钥拓展算法，其他 14 bit 的密钥可通过穷尽搜索恢复。

上述攻击中我们未能恢复第 4 轮中进入第一个 S 盒的密钥，是因为它的输出差分未知，因此我们可以选择另外的明文差分，让第二轮的输入差分经过拓展变换后导致第 1 个 S 盒不活跃，即输入差分为0，这样我们就可求得第四轮中第 1 个 S 盒得差分输出了。进而只用再穷尽搜索其他 8bit 密钥。

好的，上面大部分是《分组密码的攻击方法与实例分析》书中的原话。现在，我再用通俗易懂的话来翻译翻译。（也就是讲的再细一点啦）

 

笔者的“翻译”

我们看到，首先我们构造差分 L’为 20000000 ，R’ 为 00000000，这没什么问题，右下角的x脚标说明这是个十六进制表示，不过注意这里的L’,R’已经是IP 置换过后的了，不是明文差分 X’ 的左右两部分哦，是IP(X’)的左右两部分。

然后我们这些个差分进入第一轮，右边的a’=00000000 进到 F 轮函数，由于是00000000，怎么线性非线性变换都没所谓，先E 盒拓展，再轮密钥加，最后出了S 盒也还是 00000000，再走一个P盒置换P(00000000)也还是 00000000。所以第一轮走完，左边差分等于 A’ ⊕ L’=00000000 ⊕ 20000000=20000000，右边还是原来的 a’=00000000

到了第二轮，这个轮函数的输入是 b’ = A’ ⊕ L’=20000000，先先E 盒拓展，变成40000000，然后分为八组进入S 盒，显然后面 7 组都是0，不会激活 S 盒，那出来还是0。（可能会突然疑惑，轮密钥加呢？看到最上面的差分经过 F 函数各个组件的性质第一条，差分不受轮密钥加的影响，所以后面也都不管它了）但是第一组是以差分为 4 进入 S 盒的，由于性质第三条，S 盒的输出差分不确定，这与输出差分有关，也与具体的输出有关。所以，这一轮 S 盒的输出差分为 *0000000，之后还得 P 盒置换，所以B’ = P(*0000000)。那么第二轮走完，左边等于B’ ⊕ R’ = P(*0000000) ⊕ 00000000=P(*0000000)，右边等于b’ = 20000000

开始第三轮，这一轮开始就要乱起来了。首先这个轮函数的输入是 c’ = B’ ⊕ R’= P(*00000000)，我们看一下具体的 P 盒，

这里我们不确定的前四个bit被扩散到了第3，5，6，8组，也就是说现在我们的c’ = 00*0**0*，然后这里还要先E 盒拓展，看看 E 盒

那么进入S 盒前

可以看到，几乎每一组都被”污染了“，只剩第5组还是 0 那么 C’ = ****0***，然后这里还有一个 P 盒置换，那么第三轮走完，左边等于C’ ⊕ b’ = 20000000 ⊕ P(****0***)，右边等于c’ = ****0***（注，这里 * 为不确定的意思，进入S 盒前的 * 大概率不等于出 S 盒后的 *）

到最后的第四轮了，此时进入 S 盒的是d’ = C’ ⊕ b’,万幸只有四轮，所以d’ = r’,由于r’ 是可由最后的输出密文右半部分求一个IP 逆置换而来，因此，d’ 已知。

我们直接计算d’ 可以发现 d’几乎不会有 0 bit，也可以推一下，因为 d’ = P(****0***) ⊕ 20000000，而由于这个P 盒置换，第5组最终也会被”污染“，那么可以预见，每一组进入 S 盒的差分都被”污染“了，也就是说每一个 S 盒都会被激活。这也就是书中所说的简单分析 S 盒针对差分的扩散特性以及拓展变换 E 的性质可知，第 4 轮轮函数的输入差分 r’ 也即 d’ 经过拓展变换 E 后（成为 S 盒的输入差分)，E(r’) 几乎会让 8 个 S 盒 都活跃，即这个 8 个 S 盒的输入差分都非0。

那么到此四轮DES分析完毕。其实也就说明了一个问题，进入第四轮的 S 盒的输入会激活所有的 S 盒，然后进入第四轮 S 盒的输入差分已知，从第四轮后面7个 S 盒出来的输出差分可求，由此我们可以建立对这7个S 盒的差分分析模型以求出第四轮的轮密钥。

接下来简单讲讲具体怎么求。

首先拿到最后的输出明文差分 Y’,首先对右半边求 IP 逆置换得到 d’=r’，然后对其用 E盒 做拓展置换。先打住，我们去求一下第四轮 S 盒 的输出差分P^{-1}(D’)

我们拿到输出明文差分Y’,对做半边求 IP 逆置换得到 l’ = c’ ⊕ D’,这个c’ = a’ ⊕ B’ = 00000000 ⊕ P(*00000000) ，

第四轮的轮密钥会分为8组，分别和经过 E 盒拓展置换的 8 组输入异或后最终进入 S 盒。这8组输入差分在与轮密钥异或前后是不会变的，但是我们再次强调前面提到过的第三条性质：S 盒：S(x) ⊕ S(x*) = y ⊕ y*，结果不确定，不仅与x ⊕ x* 有关，还与 x 有关。输入的差分没变，但是两次输入的具体值因为轮密钥的异或，会发生变化。因此改变这里的轮密钥，是会使得 S 盒的输出差分受影响的。

但是呢，但是呢，我们不是已经知道输出差分了么？啊哈，那么很显然了，我们只要不断地尝试每个 S 盒那一组的轮密钥——轮密钥加，再 S 盒输出差分，然后对比我们已知的输出差分，如果匹配，则该轮密钥放入待选集合。由于每个 S 盒只用到 6bit 轮密钥，因此穷举复杂度只有 7× 2^6，完全可以接受。然后会出现多解的情况。换一组具有相同差分（非必须，差分为40000000 00000000也可）的明文输入，得到一个新的解集，再取交集即可。根据实际情况，一般取四对差分明文就能有很大概率解出 42 bit的轮密钥。

然后现在有两个选择，一个是选择复杂度为 2^{14} 穷举，另一个是换一下差分，不要激活到第一个 S 盒就行。这样就能恢复全部的48 bit密钥，然后再进行复杂度为 2^8 的穷举，两种复杂度倒也都是能接受的。

有了48bit的轮密钥后，我们知道密钥拓展用的压缩 P 盒

1.所以我们先根据 P 盒将 48 bit 的密钥位置先还原，
2.剩下的空位再直接穷举，最后得到56bit的轮密钥，
3.然后根据轮密钥生成的方式，将第四轮轮密钥还原成最初的密钥，
4.然后我们选取一对服务端生成的明文密文对，用我们的密钥对明文进行加密，
5.观察得到的密文是否与服务端生成的密文一致，若一致则得到正确密钥，否则回到第二步。

至此，4轮DES差分就到此结束了。可以看到，还没有用到概率论的知识，这是因为轮次比较少，前面我们分析的每一轮都是确定的，而等轮次增大到8轮以后就要开始引入统计分析与概率论了，取寻找概率较大的差分路径，这才是差分分析的完全体。

Remark：前面我们提到，DES差分分析的关键就在于其S盒差分分布的不均匀特性，何为不均匀特性，即相同的差分进入S盒，输出的差分是不均匀分布的。现在回头来看看这句话应该就能理解了，如果S盒差分分布均匀，相同地输入差分能够得到相同的输出差分，那么，我们就没办法去穷举验证我们的轮密钥了，因为我们没有了标准去区分密钥的正确与否。

 

结语

差分分析入门篇到此告一段落，希望接下来能有进阶篇叭，如果我学的会，能够理解的话哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈。